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Vorlesung 'Spektraltheorie diskreter Operatoren' (Schmidt)

Vorlesungen

  • Montag 10 - 12  (HS 5 Abbeanum)
  • Dienstag 10 - 12 (HS 5 Abbeanum)
  • Notes

Reglement

  • Die Vorlesung kann im Rahmen der Module 'Moderne Methoden der Analysis' oder 'Anwendungen von Operatortheorie' oder 'Diskrete Schrödingeroperatoren' belegt werden.
  • Es gibt keine formalen Zulassungsvoraussetungen zur Vorlesung/Prüfung. Empfohlen werden Kenntnisse über Hilberträume und (un)beschränkte Operatoren darauf, wie sie etwa im Rahmen der Vorlesung Höhere Analysis I vermittelt werden.
  • Die Prüfung am Semesterende ist mündlich.

Zum Inhalt

Die Vorlesung beschäftigt sich mit der spektraltheorie diskreter Schrödingeroperatoren. Dabei geht es  vor allem um Operatoren, welche zu unendlichen Graphen assoziiert sind. In gewisser Weise komplementiert Sie die Vorlesungen 'Diskrete Schrödingeroperatoren' und 'Globale Analysis auf Mannigfaltigkeiten', die im letzten Wintersemester angeboten wurden, ist jedoch auch unabhänig davon hörbar. Konkrete Inhalte sind:

  • Einführung zu abgeschlossenen quadratischen Formen und assoziierten selbstadjungierten Operatoren.
  • Existenz und Eindeutigkeit unbeschränkter diskreter Schrödingeroperatoren mittels Formmethoden.
  • Lage und Art des Hilbertraumspektrums mittels schwacher Lösungen. Zusammenhang zur Geometrie des Graphen und Anwendungen (Spektrale Lücke am unteren Rand des Spektrums, Cheeger-Ungleichung, Abwesenheit von wesentlichem Spektrum ...).
  • L^\infty-Spektrum und stochastische Vollständigkeit (Charakterisierung Stochastische Vollständigkeit mittels Spektraltheorie, geometrische Kriterien und Beispiele).
  • Spektraltheorie und Rekurrenz (Spektrale Charakterisierung von Rekurrenz, Beispiele und geometrischen Kriterien).